공리(공준) - 기초적인 수학 용어(1)
2015. 5. 19. 13:15 - 루하스공리[각주:1]
公理
axiom
논리학 용어.
본래의 특성이나 자명함에 의거하여 이제껏 일반적으로 받아들여왔거나 또는 일반적으로 받아들일 만하다고 보이는 증명불가능한 제1원리·규칙·준칙 등을 말한다.
예를 들면, "어떤 것도 동일한 시간과 동일한 지점에서 존재하면서 또한 존재하지 않을 수는 없다"와 같은 것이 일종의 공리에 해당한다.
에우클레이데스의 〈기하학원본〉에서는 제1원리들로 공준(公準)과 공통개념을 들고 있다. 공준은 기하학의 원리들인데, "요구된다고 하자"(ētesthō)는 말로 시작되는 것으로 보아 필수적인 가정(假定)으로 여겨진 것 같다. 공통개념은 아리스토텔레스의 공리와 같은 것임이 분명하다. 아리스토텔레스는 공리를 모든 논증과학의 출발점이 되는 제1원리로 생각했다. 그리스의 마지막 주요사상가 프로클로스도 〈에우클레이데스의 첫번째 책에 관하여〉에서 공통개념과 공리는 동의어라고 분명하게 쓰고 있다. 그러나 공준과 공리를 구별하는 원칙은 확실하지 않은 듯하다. 프로클로스는 이에 대해 다양하게 설명했는데, 그 가운데 하나가 공준은 기하학에만 사용되지만 공리는 양(量)을 다루는 과학이나 모든 과학 일반에 공통으로 사용된다는 설명이다.
현대의 수학자는 흔히 공준과 공리를 동의어로 사용하고 있다. 그러나 어떤 사람들은 공리를 논리학의 공리에 한정하고, 공준을 논리학의 공리를 넘어서 특정한 수학 분야를 정의하는 가정이나 최초의 원리로 규정하자고 주장하기도 한다.
공리란 수학이 결점없는 완벽한 학문이라고 생각하는 사람들에게 결정이 있다고 알려주는 용어중 하나이다.
수학은 명제의 참과 거짓을 나타낼 때 증명을 통해 결과를 산출한다.
그렇다면 증명한 명제가 참이여만 하기에 다시 증명하고 그명제를 또 증명하며 반복한다.
결국 증명하다보면 항상 참이지만 증명할 수 없는 명제를 만나게 되는데 이 명제를 공리라고 한다.
정리하자면 가장 기본적인 명제(공리)를 이용하여 여러 명제들을 도출해 내는 것이 수학이다.